考虑每一个质因子的奇偶性，奇为 1，偶为 0。
将原问题转化为 26 个大小为 25 的 $\mathbb{F}_2$ 上的非 0 向量，一定有一个向量组的和为 $0$，即一定有一向量可以表示为其他某些向量的和。
最坏情况是前 25 个构成的矩阵满秩，此时第 26 个一定能被表示出来。
by moongazer @ 2021-05-16 23:56:16
@[クトリ](/user/25251) 初二能用线代知识吗
by iodwad @ 2021-05-17 00:01:11
@[iodwad](/user/24878) 把第二段的所有向量改成看质因数次幂的奇偶性
第三段可以改成：因为前 25 个都不能得到全偶的，故所有 $2^{25}$ 种方案两两不同（反证，假设有相同，容易构造一组全偶），于是第 26 个只有 $2^{25}$ 种，无论如何都可以被前 25 个表示出来。
by moongazer @ 2021-05-17 00:13:00
这不是简单的鸽巢原理吗...
1~100有25个质数，26个数里面如果全都非1，那至少有一个重复的质因子出现；如果有1，那这个单独的1就是完全平方数。
@[monsters谔谔](/user/191868)
by 摸鱼酱 @ 2021-05-17 00:14:15
不要啥都上线代啊..
by 摸鱼酱 @ 2021-05-17 00:14:34
@[摸鱼酱](/user/173685) 一个质因子重复出现不代表一定有若干数乘积为完全平方数吧。比方说6，8。它们能得到的数仅有6，8，48，都不是完全平方数。
by do_while_true @ 2021-05-17 00:31:03
感觉这个线代的解释已经挺好了
by do_while_true @ 2021-05-17 00:34:11
@[摸鱼酱](/user/173685) 您这离谱了吧（
反正我考场做法确实是鸽巢 但是非常麻烦
by monstersqwq @ 2021-05-17 01:06:50
@[クトリ](/user/25251) 好耶！感谢！
by monstersqwq @ 2021-05-17 01:07:22
@[monsters谔谔](/user/191868) 显然原命题等价于“给26个不同的25位二进制数，从中取出一些进行异或，结果一定可以取到0”，26个数中取出一些异或共有2^26种取法，而25位二进制数只有2^25个，于是中间一定有重复的，将这两个重复的数再进行异或即可取到0(不需考虑重复取用，(AxorB)xor(BxorC) = AxorC )
写的时候去掉什么二进制，异或之类的东西，改成分解质因数就好了
by wangjinbo @ 2021-05-17 07:08:33