@[Acfboy](/user/40318) 因为已经把期望转化成概率的求和了呀
by RyexAwl @ 2021-05-31 15:53:13
令 $p_i$ 为恰好第 $i$ 次放完停止的概率。
$$
E=\sum_{i=1}^np_i\times i=\sum_{i=1}^np_i\sum_{1\le j\le i} 1=\sum_{i=1}^n\sum_{1\le j\le i}p_i =\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n p_j
$$
令
$$
P[i]=\sum_{j=i+1}^n p_j
$$
那么
$$
E=\sum_{i=0}^{n-1} P[i]
$$
考虑一下 $P[i]$ 的组合意义。
那其实就是恰好选 $i+1$ 个后不合法，恰好选 $i+2$ 个不合法...的概率的和。
并且任意两个事件是不交的，因此代表的一定是一个不交并。
那么其组合意义即：选 $i$ 个合法的概率。
对这个概率求个和 $ok$ 了。
by RyexAwl @ 2021-05-31 15:56:10
@[wxy_](/user/317459) 谢谢！
by Acfboy @ 2021-05-31 15:58:08
原 来 不 止 我 一 个
(虽然我发现了还是不会/kk)
by cmll02 @ 2021-06-01 11:26:58
其实这个推导就相当于把每一次加入分开来考虑，因为加入的对答案的贡献一定是 $1$, 而当前的合法方案除以总方案数就是概率，所以对这个概率求和就是期望了。
by Acfboy @ 2021-06-01 18:31:02