题目背景无所谓吧（
不过题目描述里那个 参数W 应改为 参数 $W$
。
by 王熙文 @ 2021-06-28 17:00:29
sqlm
by 0x3F @ 2021-06-28 17:03:54
这个 3 不需要 latex 把，又不是什么常量
by CGDGAD @ 2021-06-28 17:39:14
@[nkhr_71](/user/361616) 不要吹毛求疵，这是背景
by CSP_juruo @ 2023-07-14 16:10:20
LaTeX应用在公式、常量、数据规模上。
QWQ
@[nkhr_71](/user/361616)
by littlesnake @ 2024-01-13 10:37:35
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提示
LaTeX
L
A
T
E
X 是一种基于
TeX
T
E
X 的排版系统，能够很方便的生成数学公式。
洛谷的大多数地方使用
KaTeX
K
A
T
E
X 进行渲染，可以参照文档：
https://katex.org/docs/supported.html。
基础知识
行内公式与行间公式
行内公式（即穿插在文本中的公式）两侧分别使用一个美元 $ $ 符号定界。
例如 $x \cdot \sin(y)$ 显示为
�
⋅
sin
(
�
)
x⋅sin(y)。
行间公式（即独立成行的公式）两侧分别使用 $$ $$（每侧两个美元符号）定界，Markdown 代码可以跨行写，例如：
$$ H_n = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i} $$
显示为
�
�
=
∑
�
=
1
�
1
�
H
n
=
i=1
∑
n
i
1
再例如：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 8 & 4 \\
7 & 9 & 2 \\
\end{pmatrix}
$$
显示为
(
1
8
4
7
9
2
)
(
1
7
8
9
4
2
)
行内公式的 “大小”（例如分数的大小、巨运算符上下标的位置）会比行间公式小，可以通过 \displaystyle 和 \textstyle 来切换两类模式：
对于行内公式，使用 \displaystyle 的效果：
LaTeX 代码 显示效果
\frac{1}{x}
1
�
x
1
\displaystyle \frac{1}{x}
1
�
x
1
\int_0^x f(t) \mathop{}\!\mathrm{d} t
∫
0
�
�
(
�
)
d
�
∫
0
x
f(t)dt
\displaystyle \int_0^x f(t) \mathop{}\!\mathrm{d} t
∫
0
�
�
(
�
)
d
�
∫
0
x
f(t)dt
对于行间公式，使用 \textstyle 的效果：
$$ \textstyle \int \frac{\mathop{}\!\mathrm{d} x}{x} = \ln(x) + C $$
显示为
∫
d
�
�
=
ln
(
�
)
+
�
∫
x
dx
=ln(x)+C
LaTeX 控制序列的概念（类似于函数）
控制序列可以视作为命令：以 \ 开头，参数：必需参数 {} 和可选参数 []。
控制序列可以实现特定功能，例如 \sin x 显示为
sin
�
sinx、\Omega \omega 显示为
Ω
�
Ωω、\color{red} x 显示为
�
x、\mathbb{Q} 显示为
�
Q、\sqrt[5]{x} 显示为
�
5
5
x
。
LaTeX 环境的概念
环境的格式为 \begin{环境名} 环境内部 \end{环境名}，即 \begin 和 \end 以及它们中间的部分。
环境有比控制序列更加灵活的用法，例如：
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}
显示为
[
1
2
3
4
]
[
1
3
2
4
]
而
f(x) = \begin{cases}
2 & x \in \mathbb Q \\
1 & x \notin \mathbb Q \land x \in \mathbb A \\
0 & x \notin \mathbb A
\end{cases}
显示为
�
(
�
)
=
{
2
�
∈
�
1
�
∉
�
∧
�
∈
�
0
�
∉
�
f(x)=
⎩
⎨
⎧
2
1
0
x∈Q
x∈
/
Q∧x∈A
x∈
/
A
基本语法
二元关系 / 运算符
二元关系符：
LaTeX 代码： x = y x > y x < y x \ge y x \le y
显示效果：
�
=
�
x=y
�
>
�
x>y
�
<
�
x<y
�
≥
�
x≥y
�
≤
�
x≤y
LaTeX 代码： x \perp y x \parallel y x \mid y x \nparallel y x \nmid y
显示效果：
�
⊥
�
x⊥y
�
∥
�
x∥y
�
∣
�
x∣y
�
∦
�
x∦y
�
∤
�
x∤y
LaTeX 代码： x \approx y x \in y x \ni y x \ne y x \sim y
显示效果：
�
≈
�
x≈y
�
∈
�
x∈y
�
∋
�
x∋y
�
≠
�
x
=y
�
∼
�
x∼y
二元运算符：
LaTeX 代码： x + y x - y x \times y x \div y x \cdot y x \bmod y
显示效果：
�
+
�
x+y
�
−
�
x−y
�
×
�
x×y
�
÷
�
x÷y
�
⋅
�
x⋅y
�
mod
�
xmody
LaTeX 代码： x \circ y x * y x \ast y x / y x \oplus y x \otimes y
显示效果：
�
∘
�
x∘y
�
∗
�
x∗y
�
∗
�
x∗y
�
/
�
x/y
�
⊕
�
x⊕y
�
⊗
�
x⊗y
LaTeX 代码： x \cup y x \cap y x \land y x \lor y x \pm y x \mp y
显示效果：
�
∪
�
x∪y
�
∩
�
x∩y
�
∧
�
x∧y
�
∨
�
x∨y
�
±
�
x±y
�
∓
�
x∓y
上标与下标
上标命令是 ^{角标}，下标命令是 _{角标}。当角标是单个字符时可以不用花括号（在 LaTeX 中，花括号是用于分组，即花括号内部文本为一组）。
例：x_1、x^2、x_1^2、x^2_1、x_{22}^{(n)}、{}^*\!x^* 的显示效果分别为：
LaTeX 代码： x_1 x^2 x_1^2 x^2_1 x_{22}^{(n)} {}^*\!x^*
显示效果：
�
1
x
1
�
2
x
2
�
1
2
x
1
2
�
1
2
x
1
2
�
22
(
�
)
x
22
(n)
∗
�
∗
∗
x
∗
分式
输入较短的分式时，最简单的方法是使用斜线，譬如输入 $(x + y) / 2$，可得到
(
�
+
�
)
/
2
(x+y)/2。
要输入带有水平分数线的公式，可用命令：\frac{分子}{分母}。
LaTeX 代码 显示效果
\frac{x + y}{2}
�
+
�
2
2
x+y
\frac{1}{1 + \frac{1}{2}}
1
1
+
1
2
1+
2
1
1
根式
排版根式的命令是：开平方：\sqrt{表达式}；开
�
n 次方：\sqrt[n]{表达式}。
LaTeX 代码 显示效果
\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}
2
<
3
3
2
<
3
3
\sqrt{1 + \sqrt[p]{1 + a^2}}
1
+
1
+
�
2
�
1+
p
1+a
2
求和与积分
排版求和符号与积分符号的命令分别为 \sum 和 \int，它们通常都有上下限，在排版上就是上标和下标。
LaTeX 代码 显示效果
\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}
∑
�
=
1
�
1
�
∑
k=1
n
k
1
\sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}
∑
�
=
1
�
1
�
∑
k=1
n
k
1
\int_a^b f(x) d x
∫
�
�
�
(
�
)
�
�
∫
a
b
f(x)dx
\int_a^b f(x) \mathop{} \! \mathrm{d} x
∫
�
�
�
(
�
)
d
�
∫
a
b
f(x)dx
公式中的空格
LaTeX 能够自动处理公式中的大多数字符之间的空格，但是有时候需要自己手动进行控制。除了常见的几个空格命令外，可以通过 \hspace{长度} 自定义空格长度。
LaTeX 代码 显示效果
\Box \! \Box
□
□
□□
\Box \Box
□
□
□□
\Box \, \Box
□
□
□□
\Box \: \Box
□
□
□□
\Box \; \Box
□
□
□□
\Box \ \Box
□
□
□ □
\Box \quad \Box
□
□
□□
\Box \qquad \Box
□
□
□□
\Box \hspace{1cm} \Box
□
□
□□
\Box \hspace{1.5cm} \Box
□
□
□□
\Box \hspace{2cm} \Box
□
□
□□
\Box \Box
□
□
□□
\Box \hspace{-.1cm} \Box
□
□
□□
\Box \hspace{-.2cm} \Box
□
□
□□
\Box \hspace{-.3cm} \Box
□
□
□□
\Box \hspace{-.4cm} \Box
□
□
□□
插入文本
在公式中插入文本可以通过 \text{文字} 在公式中添加文字，比如：
\text{对任意的 } x > 0 \text{，有 } f(x) > 0 \text{。}
显示为
对任意的
�
>
0
，有
�
(
�
)
>
0
。
对任意的 x>0，有 f(x)>0。
多行的数学公式
使用 aligned 环境对齐多行公式。
\begin{aligned}
\cos(2 \theta) &= \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \\
&= 2 \cos^2(\theta) - 1
\end{aligned}
显示为
cos
(
2
�
)
=
cos
2
(
�
)
−
sin
2
(
�
)
=
2
cos
2
(
�
)
−
1
cos(2θ)
=cos
2
(θ)−sin
2
(θ)
=2cos
2
(θ)−1
字体、字号与颜色
字体
对于英文的字体，LaTeX 给出了三个层级，其中 KaTeX 支持的有：
族（family）：有罗马（roman）、无衬线（sans-serif）、打字机（teletype）三族，改变字体的基本外观。
形状（shape）：有直立（upright）、意大利（italic）两种形状。
重量（weight）：有中等（medium）、粗体（boldface）两种重量。
在某些时候，KaTeX 允许这些层级叠加使用：
直立中等 意大利中等 直立粗体 意大利粗体
\textup{\textmd \textit{\textmd \textup{\textbf \textit{\textbf
罗马 \textrm
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
无衬线 \textsf
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96 不可用
打字机 \texttt
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96
Butterfly96 不可用 不可用
在文本模式下（即 \text 内部），默认情况下，族使用罗马、形状使用直立、重量使用中等。
在数学模式下（即 KaTeX 的默认），默认情况下，族使用罗马、形状使用意大利、重量使用中等。
特别地，在数学模式下，提供了 \mathbb、\mathcal、\mathscr 和 \mathfrak 以供特殊数学字体使用：
\mathbb：
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 和
�
k。
\mathcal：
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 和
0123456789
0123456789。
\mathscr：
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ。
\mathfrak：
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ℎ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0123456789
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz 0123456789
。
前文的改变字体的命令对这些特殊字体无效。
对于中文，我们有：
直立中等 意大利中等 直立粗体 意大利粗体
\textup{\textmd \textit{\textmd \textup{\textbf \textit{\textbf
默认 无
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
罗马 \textrm
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
你好，世界！
对于中文，族设置为无衬线或打字机时，要么不可用，要么与设置为罗马时无区别。
可以看出，族默认时是宋体，族为罗马时是黑体。
字号
LaTeX 内置了从大到小的下列字号：
\Huge
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\normalsize
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\huge
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\small
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\LARGE
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\footnotesize
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\Large
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\scriptsize
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\large
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
\tiny
∑
�
=
1
�
1
�
∑
i=1
n
i
1
颜色
可以通过 {\color{颜色} 文字或公式} 或 \textcolor{颜色}{文字或公式} 改变字体颜色。例如：
a + {\color{red} a + {}} a 显示为
�
+
�
+
�
a+a+a。
a + \textcolor{red}{a + {}} a 显示为
�
+
�
+
�
a+a+a。
a + {\color{#22AB22} a + {}} a 显示为
�
+
�
+
�
a+a+a。
a + \textcolor{#22AB22}{a + {}} a 显示为
�
+
�
+
�
a+a+a。
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by littlesnake @ 2024-01-13 10:38:32