答案是 $\frac{1}{3}$
by AAA404 @ 2024-03-28 20:41:59
你可以假定 $y$ 比 $x$ 小，因为反过来的概率一样。
那么此时的结果就是
$$
\begin{aligned}
&\int_0^1P(x)\times E(x)\text{d}x\\
=&\int_0^1 (x) \times (\frac{x}{2})\text{d}x\\
=&\int_0^1\frac{x^2\text{d}x}{2}\\
=&\frac{1}{6}
\end{aligned}
$$
再乘一个 $2$ 就是 $\frac{1}{3}$ 了。
by cosf @ 2024-03-28 20:47:48
@[AAA404](/user/723198) 不是，哥们你为啥要除以x。
$$
\begin{aligned}
&\int_0^1\left(\int_{x}^1(y-x)\text dy\right)\text dx+\int_0^1\left(\int_{0}^x(x-y)\text dy\right)\text dx\\
=&\int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}\text dx+\int_0^1\frac{x^2}{2}\text dx\\
=&\int_0^1\frac{1-2x+2x^2}{2}\text dx\\
=&F(x)|^1_0=F(1)-F(0)
\end{aligned}
$$
其中$ F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{x}{2}$
算出来就是 $\frac{1}{3}$
by Ether13 @ 2024-03-28 21:16:16
@[cosf](/user/516725) 能细说一下吗
by AAA404 @ 2024-03-28 21:23:33
例如：P和E是怎么求的
by AAA404 @ 2024-03-28 21:24:09
@[AAA404](/user/723198)
$P(x)$ 表示 $y$ 小于等于 $x$ 的概率。（显然 $\int_0^1P(x)\text{d}x=\frac{1}{2}$）。
$E(x)$ 表示当 $x$ 取值固定，$y$ 等概率从 $[0, x]$ 中选取的情况下 $x-y$ 的期望。由于对称性，$E(x) = \frac{x}{2}$。
by cosf @ 2024-03-28 21:40:42
@[cosf](/user/516725) thx
by AAA404 @ 2024-03-28 21:51:47
@[Ether13](/user/515717) 算期望不是要除吗？
by AAA404 @ 2024-03-28 21:52:12
@[Ether13](/user/515717) https://www.luogu.com.cn/discuss/669884
这个帖子的题积分不除以x好像会寄
by AAA404 @ 2024-03-28 21:53:44
@[AAA404](/user/723198) 显然除的应该是 $1^2=1$
by Ether13 @ 2024-03-28 21:55:26