@[超级玛丽王子](/user/372299) 或许[这个](https://math.stackexchange.com/questions/4624240/lim-n-to-infty-a-n-sqrt2n-if-a-1-1-and-a-n1-a-n-frac?r=SearchResults)有点帮助？
by Argon_Cube @ 2024-04-11 21:23:47
@[超级玛丽王子](/user/372299) 第一步，根据题目已知条件$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}$，可以得到$a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2 + \frac{1}{a_n^2}$。
第二步，进一步整理上述等式，得到$a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + \frac{1}{a_n^2}$。
第三步，由于$a_n > 0$（因为$a_1 = 1$且每次迭代都加上一个正数），我们可以对等式两边从$n=1$到$n$进行求和，得到$a_n^2 = 1 + 2(n-1) + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k^2}$。
第四步，注意到$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k^2} \leq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k}$，因为$a_k \geq \sqrt{2k}$（根据归纳假设）。
第五步，利用调和级数的性质，我们知道$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \leq \ln n + 1$。因此，$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2k} \leq \frac{\ln n + 1}{2}$。
第六步，将第五步的结果代入第三步的等式，我们得到$a_n^2 \leq 2n - 1 + \frac{\ln n + 1}{2}$。
第七步，进一步整理上述不等式，我们得到$a_n \leq \sqrt{2n + \frac{\ln n + 1}{2}}$。
第八步，注意到$\sqrt{2n + \frac{\ln n + 1}{2}} < \sqrt{2n} + \frac{\ln n}{4\sqrt{2n}}$（可以通过平方后比较得到），因此$a_n \leq \sqrt{2n} + \frac{\ln n}{4\sqrt{2n}}$。
by qwertyuiop951357 @ 2024-04-11 22:19:02