@[TimSwn090306](/user/564732) [戳这里](https://www.luogu.com.cn/paste/9x3dtzac)
by qwertyuiop951357 @ 2024-04-17 22:47:17
@[qwertyuiop951357](/user/991301) 您好，可以具体说一下第五部里关于 $p_i$ 和 $q_j$ 的等式是什么吗？
by TimSwn090306 @ 2024-04-17 23:05:04
记 $\nu_p(n)$ 表示 $n$ 包含质因子 $p$ 的次数。
设 $p$ 为 $n$ 的最大质因子，则 $\nu_p(\varphi(n))=\nu_p(n)-1$。（由 $\varphi$ 的计算式即得）
因此 $\nu_p(\varphi(n^2))=\nu_p(\varphi(n)n)=2\nu_p(n)-1$。
比较 $\varphi(n^2),\varphi(m^2)$ 的最大质因子及次数，易知其均相同。
则不妨将 $p$ 全部约去。同理，可继续证得 $n,m$ 的所有质因子及次数也都相同。就得到 $n=m$。
by XeCtera @ 2024-04-17 23:16:39
@[qwertyuiop951357](/user/991301) 的证明是错的
@[XeCtera](/user/38785) 的证明和 https://math.stackexchange.com/q/539558 相同
by 小粉兔 @ 2024-04-17 23:41:11
@[XeCtera](/user/38785) @[小粉兔](/user/10703) 我悟了，拜谢大佬orz
by TimSwn090306 @ 2024-04-17 23:52:19
@[XeCtera](/user/38785) 想追问一句，所以这题里的 $n^2,m^2$ 起到的作用是为了保证质因数分解后每一个指数都不为 $1$ 吗？
by TimSwn090306 @ 2024-04-18 00:01:09
@[TimSwn090306](/user/564732) 是的。因此条件改为更高次幂时，结论也都成立；唯独 $\varphi(n)=\varphi(m)$ 不行。
by XeCtera @ 2024-04-18 00:10:59
@[XeCtera](/user/38785) 感谢感谢！
by TimSwn090306 @ 2024-04-18 12:13:52