考虑 $\omega_n^i$ 恰是 $x^n - 1 = 0$ 的所有根。依 Viète 定理可知 $\prod_{i=1}^{n} (x - \omega_n^i) = x^n - 1$。两边同除 $x - 1$ 得 $\prod_{i=1}^{n-1} (x - \omega_n^i) = \dfrac{x^n-1}{x-1} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}$。代入 $x = 1$ 得 $(-1)^{n-1} \prod_{i=1}^{n-1} (\omega_n^i - x) = n$，换句话说原式等于 $(-1)^{n-1} n$。
by 小粉兔 @ 2024-04-18 17:44:48
%%%orz
by 2020wjn @ 2024-04-18 17:46:49
@[小粉兔](/user/10703) 感谢粉兔orz
by TempestJueMu @ 2024-04-18 17:47:33
粉兔还打出了法语。。
by 寒烟冷浅暮殇 @ 2024-04-18 17:47:42
%%%orz
by kevinZ99 @ 2024-04-18 17:48:39
但是除以x-1之后，又把x=1带入真的没有问题吗？还是我没有看懂。
by 2020wjn @ 2024-04-18 17:51:07
@[2020wjn](/user/554868) 两边都是多项式的话，我做的是多项式的除法，不是函数的除法。等号的意思是多项式的系数相等而不只是值相等（当然，在复数域上这两个等价）
by 小粉兔 @ 2024-04-18 17:54:26
或者你考虑对 $x = 1$ 的位置用一下 l’Hôpital 法则也行
by 小粉兔 @ 2024-04-18 17:55:35
@ 小粉兔 发现粉兔
by T7_Daniel_clz_gy_dw @ 2024-04-18 17:55:52
好的，谢谢！
by 2020wjn @ 2024-04-18 17:55:52